Laureato in medicina, nel 1919 (dopo aver prestato servizio negli ospedali militari delle zone di guerra del primo conflitto mondiale), divenne direttore dell’Ospedale militare di Imola. Passò poi all’Ospedale civile, come primario chirurgo. Il 25 luglio 1943, il medico entrò nel Comitato che avrebbe coordinato le manifestazioni di giubilo per la caduta di Mussolini. Dopo l’armistizio il dottor D’Agostino, entrato nelle liste di proscrizione dei fascisti imolesi, fu arrestato e incarcerato a “San Giovanni in Monte”; ma dalla prigione bolognese furono gli stessi tedeschi a liberarlo per l’inconsistenza delle accuse. Vi tornò, con altri patrioti, quando il federale fascista di Bologna fu giustiziato dai partigiani.
Processato da un sedicente Tribunale militare straordinario, il medico (accusato di aver fornito alla Resistenza materiale sanitario del suo ospedale), fu condannato a morte e fucilato al Poligono di tiro di Bologna con Alfredo e Romeo Bartolini, Alessandro Bianconcini, Cesare Budini, Zozimo Marinelli, Silvio Bonfigli ed Ezio Cesarini.
A Francesco D’Agostino è stata intitolata una strada di Imola.