Lavorava come boscaiolo quando, nel 1931, aveva dovuto emigrare in Francia per sottrarsi alle persecuzioni dei fascisti. Per cinque anni aveva fatto il cameriere al Grand Hotel de la Place di Le Lavandou, poi era accorso in Spagna, combattendo contro i franchisti come miliziano della XII Brigata Internazionale. Con la caduta della Repubblica spagnola, Ricci era di nuovo riparato in Francia. Nel settembre del 1939 l'esule italiano era stato incarcerato a Tolone, per essere poi internato nel campo di Vernet, dove rimase sino al settembre del 1941.
Al momento del rimpatrio, la polizia fascista lo arrestò a Mentone e di lì Ricci passò a Ventotene, per scontarvi i cinque anni di confino ai quali era stato condannato. Liberato con la caduta del fascismo, Ricci era stato poco dopo chiamato in servizio di leva. L'8 settembre 1943 si trovava, con Demos Malavasi che aveva conosciuto a Ventotene, nella caserma di Maranello quando i tedeschi, indirizzati dai fascisti locali, tentarono di eliminarlo. Ricci riuscì a fuggire e nella primavera del 1944, mettendo a frutto l'esperienza fatta durante la guerra di Spagna, fu tra i principali organizzatori della guerriglia nell'Appennino a sud di Modena.
Riuscito ad ottenere la fusione delle piccole formazioni operanti su quei monti - tanto che, durante l'estate del 1944, il "Corpo d'Armata Centro Emilia" guidato dal "comandante Armando" contava circa cinquemila partigiani - rese durissima la vita ai nazifascisti, come ricorda la motivazione della Medaglia d'oro conferita a Ricci nel 1953: "Promotore ed animatore della lotta di resistenza nell'Appennino Emiliano, da posti di grande responsabilità e di elevato comando metteva in luce esimie doti di organizzatore e di capo. Coraggioso e deciso, si imponeva all'ammirazione dei combattenti riscuotendo larga fama fra le fila partigiane.
Ripetute e chiare le prove di valore da lui fornite e particolarmente distinto il contegno da lui tenuto dal 13 al 19 giugno 1944 attaccando, in quel di Montefiorino, munite posizioni fortemente presidiate, vincendo in duri combattimenti la resistenza nemica e liberando una vasta zona di territorio del quale manteneva per qualche tempo il controllo. Infaticabile, ardito, sempre presente, continuava strenuamente nella lotta sino alla liberazione impegnando in combattimento intiere grandi unità nemiche".
Dopo la Liberazione, Mario Ricci fu nominato sindaco di Pavullo dal CLN locale. Confermato nelle elezioni del 1946 rimase sindaco della città sino al 1960 e poi per un altro quinquennio. Il "comandante Armando" è stato anche deputato alla Camera, eletto nelle liste del PCI, nella I e II Legislatura ed è stato presidente dell'ANPI provinciale di Modena.